5. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 36°.

Решение:

Пусть внешний угол при вершине B равен \( ∠B_{внеш} \). Тогда \( ∠B_{внеш} = 180^\circ - ∠ABC \). Поскольку \( ∠ABC = 36^\circ \), то \( ∠B_{внеш} = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ \).

Биссектриса внешнего угла при вершине B делит его пополам. Пусть эта биссектриса - BD. Тогда \( ∠ABD = ∠DBC = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ \).

По условию, биссектриса внешнего угла при вершине B (BD) параллельна стороне AC. Рассмотрим секущую BC, пересекающую параллельные прямые BD и AC. Тогда угол DBC и угол BCA (\( ∠C \) треугольника ABC) являются накрест лежащими углами. Следовательно, \( ∠C = ∠DBC = 72^\circ \).

Теперь у нас есть два угла треугольника ABC: \( ∠ABC = 36^\circ \) и \( ∠BCA = 72^\circ \).

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем угол САВ (\( ∠A \)):

\( ∠A = 180^\circ - (∠ABC + ∠BCA) \) \( ∠A = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) \) \( ∠A = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \).

Ответ: 72°.