4. В треугольнике BKA точки C, N и M — середины сторон BK, BA и KA соответственно. По рисунку ∠BKA = 90°, ∠BAK = 30°. BC = 6, AK = 16. Найдите P₍BCMN₎.

По отметкам C, N и M — середины соответствующих сторон. Из BC = 6 получаем BK = 12, а из того, что M — середина KA, получаем KM = 8.

Если использовать прямой угол при K, то в прямоугольном треугольнике CKM: CM = √(6² + 8²) = 10. Также MN — средняя линия треугольника BKA, поэтому MN = BK/2 = 6.

В прямоугольном треугольнике BKA гипотенуза BA = √(12² + 16²) = 20, значит NB = BA/2 = 10.

Тогда P₍BCMN₎ = BC + CM + MN + NB = 6 + 10 + 6 + 10 = 32.

Однако данные на рисунке противоречат друг другу: при BK = 12 и AK = 16 прямой угол при K даёт tan ∠BAK = 12/16 = 3/4, а не tan 30°. Поэтому 32 — результат по данным о серединах, длинах и прямом угле; если угол 30° тоже является обязательным условием, задача не имеет согласованного решения.