4. В треугольнике \(MNK\) \(O\) — точка пересечения медиан, \(\overrightarrow{MN}=\vec x\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\). Выразите вектор \(\overrightarrow{MO}\).

Пусть \(Q\) — середина стороны \(NK\). Тогда \(\overrightarrow{MQ}=\frac12(\vec x+\vec y)\), поскольку радиус-вектор середины равен полусумме радиус-векторов концов.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MQ}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)\).

Ответ: \(\overrightarrow{MO}=\frac13(\vec x+\vec y)\).