4. В треугольнике MNK точка O — пересечение медиан. \(\overrightarrow{MN}=\vec x\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k(\vec x+\vec y)\). Найти k.

Пусть P — середина NK. Тогда \(\overrightarrow{MP}=\frac12(\vec x+\vec y)\). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MP}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MO}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\). Сравнивая с условием, получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).