4*. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан; \(\overrightarrow{MN}=\vec x\), \(\overrightarrow{MK}=\vec y\), \(\overrightarrow{MO}=k\cdot(\vec x+\vec y)\). Найдите число k.

Пусть Q — середина NK. Тогда \(\overrightarrow{MQ}=\frac12(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK})=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MQ}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\).

Сравнивая с условием, получаем \(k=\frac13\).