4. В треугольнике ВМС стороны ВМ и МС равны, точка А лежит на биссектрисе МК. Докажите, что AB = AC.

Доказательство:

Давайте разберемся, что нам дано и что нужно доказать.

1. △ВМС — равнобедренный, так как ВМ = МС.
2. МК — биссектриса ∠ВМС. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой.
3. Значит, МК является медианой. Это означает, что точка K делит основание ВС пополам: ВK = KC.
4. МК также является высотой. Это значит, что МК ⊥ВС, и ∠МКВ = ∠МКС = 90°.
5. Точка А лежит на биссектрисе МК.

Теперь рассмотрим треугольники △ABK и △ACK:

• ВK = KC (так как МК — медиана).
• ∠AKB = ∠AKC (эти углы являются смежными с углами ∠MKВ и ∠MKC, которые равны 90°, следовательно ∠AKB = ∠AKC = 90°).
• АК — общая сторона для обоих треугольников.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними: BK=KC, AK=AK, ∠AKB = ∠AKC = 90°), треугольники △ABK и △ACK равны.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Следовательно, AB = AC.

Доказано.