4) В цилиндре радиус основания равен 10, ∠MPB = 60°, дуга PB = 120°. Найти объём цилиндра.

Хорда \(PB\) стягивает дугу в \(120^\circ\). Поэтому:

\(PB=2R\sin\dfrac{120^\circ}{2}=2\cdot10\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3\).

Отрезок \(PM\) является высотой цилиндра и перпендикулярен плоскости основания, поэтому треугольник \(MPB\) прямоугольный в точке \(P\).

По определению тангенса:

\(\tan60^\circ=\dfrac{PM}{PB}\).

Тогда:

\(PM=PB\tan60^\circ=10\sqrt3\cdot\sqrt3=30\).

Объём цилиндра:

\(V=S_{осн}H=\pi R^2H=\pi\cdot10^2\cdot30=3000\pi\).

Ответ: \(3000\pi\).