4.В. В параллелограмме KLMN проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону LM в точке P. а) Докажите, что ΔKLP — равнобедренный. б) Найдите сторону KN, если LP = 12 см, а периметр параллелограмма 70 см.

а) Так как в параллелограмме KL ∥ MN и KN ∥ LM, то LP ∥ KN. Поэтому ∠KPL равен углу между KP и KN. Поскольку KP — биссектриса угла K, этот угол равен ∠LKP. В треугольнике KLP равны углы при K и P, значит, равны и противолежащие им стороны: KL = LP. Следовательно, ΔKLP равнобедренный.

б) KL = LP = 12 см. Пусть KN = x. Периметр параллелограмма: 2(KL + KN) = 70, поэтому 2(12 + x) = 70, откуда x = 23.

Ответ: KN = 23 см.