4. Внесите множитель под знак корня. Левая колонка: а) (1/(3x))√(−27x); б) ab²√(1/(a³b⁴)). Правая колонка: а) (2/x)√(−x/8); б) (1/(a⁴b))√(a⁸b³).

Учитываем область допустимых значений и знак множителя: если множитель отрицателен, после внесения под корень перед корнем сохраняется минус.

1. Левая колонка, а): при x < 0 множитель 1/(3x) отрицателен. Поэтому \(\frac{1}{3x}\sqrt{-27x}=-\sqrt{\left(\frac{1}{3x}\right)^2(-27x)}=-\sqrt{-\frac{3}{x}}\).
2. Левая колонка, б): выражение определено при a > 0, b ≠ 0; множитель ab² положителен. \(ab^2\sqrt{\frac{1}{a^3b^4}}=\sqrt{\frac{a^2b^4}{a^3b^4}}=\sqrt{\frac{1}{a}}\).
3. Правая колонка, а): при x < 0 множитель 2/x отрицателен. \(\frac{2}{x}\sqrt{-\frac{x}{8}}=-\sqrt{\frac{4}{x^2}\cdot\left(-\frac{x}{8}\right)}=-\sqrt{-\frac{1}{2x}}\).
4. Правая колонка, б): выражение определено при a ≠ 0, b > 0; множитель положителен. \(\frac{1}{a^4b}\sqrt{a^8b^3}=\sqrt{\frac{a^8b^3}{a^8b^2}}=\sqrt{b}\).