4. Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AC в точке K. Известно, что AK = 5, CK = 2. Прямая, проходящая через точки касания этой окружности с другими сторонами треугольника, пересекает прямую AC в точке M. Найдите MC. На рисунке подпись отрезка CK выглядит как 1, тогда как в условии указано 2.

Используем данные текста условия: \(AK=5\), \(CK=2\). Обозначим точки касания окружности со сторонами AB и BC соответственно через P и Q. Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны: пусть \(PB=BQ=t\). Тогда \(AP=AK=5\), \(QC=CK=2\), а \(AC=7\).

Пусть \(MC=x\). Тогда \(AM=AC+CM=7+x\). По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой P–Q–M:

\(\dfrac{AP}{PB}\cdot\dfrac{BQ}{QC}\cdot\dfrac{CM}{MA}=1.\)

Подставим известные длины: \(\dfrac{5}{t}\cdot\dfrac{t}{2}\cdot\dfrac{x}{7+x}=1\). Отсюда \(5x=14+2x\), поэтому \(x=\dfrac{14}{3}\).

Если подпись на рисунке действительно означает \(CK=1\), то при этом прочтении получилось бы \(MC=\dfrac{3}{2}\). Основной ответ по явно указанному в тексте условию — \(\dfrac{14}{3}\).

Ответ: \(MC=\dfrac{14}{3}\).