Ответ:

  1. В течение дня шёл дождь. Это производный предлог со значением времени.
  2. Яма была довольно узкая, и я в течение получаса пробовал выбраться наверх. Предлог «в течение» пишется с е.
  3. Быстрая в течении речонка идёт вдоль гребня. Здесь «в течении» — существительное с предлогом; написание с и указывает на форму предложного падежа. Формулировка предложения звучит необычно, но пропуск восстанавливается по видимому контексту.
  4. В продолжение получаса солнце наполовину вышло из моря и навстречу ему, гордо рассекая волны, бежал белый корабль. Производный предлог времени пишется с е.
  5. В продолжении романа, который готовится к выпуску, мы узнаем о судьбе героя. Существительное в значении «следующая часть» пишется с и.
  6. Вследствие задержки в пути мы не можем прибыть вовремя. Производный предлог со значением причины пишется слитно и с е.
  7. Вследствие весеннего паводка связь с городом в течение следующей недели будет по-прежнему затруднена. Первый предлог обозначает причину, второй — время.
  8. Он участвовал в следствии о поджоге как свидетель. Это существительное, пишется с и.