Ответ:

  1. Смотреть вслед уходящему теплоходу. Производный предлог пишется слитно.
  2. Жить вблизи стадиона. Производный предлог.
  3. Сделать запрос насчёт графика работы. Производный предлог со значением «о».
  4. Разрешить отнести расходы на счёт администрации. «Счёт» — существительное, к которому относится зависимое слово «администрации».
  5. Болеть в продолжение семестра. Производный предлог времени: раздельно, на конце е.
  6. В продолжении фильма увидеть новых актёров. Существительное в значении «следующая часть».
  7. В заключение сделать в сочинении нужные обобщения. Производный предлог со значением «в конце».
  8. В заключении сочинения отсутствуют выводы. Существительное: речь идёт о заключительной части сочинения.
  9. В течение всего лета шли дожди. Производный предлог времени.
  10. Ввиду шторма рыбаки не вышли в море. Производный предлог со значением причины.
  11. Несмотря на все старания, он опоздал. Производный предлог.
  12. Вследствие болезни он пропустил урок. Производный предлог со значением причины.
  13. В следствии были допущены ошибки. Существительное; можно подставить определение: «в этом следствии».
  14. Вслед экипажам двинулись люди. Производный предлог.