№ 4. Вычислить логарифмы:

Решение:

1. а)\[ \log_5 150 - \log_5 3 + \log_5 \frac{1}{2} - \log_5 1 \]Используя свойства логарифмов \( \log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} \) и \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \), а также \( \log_a 1 = 0 \):\[ \log_5 \frac{150}{3} + \log_5 \frac{1}{2} - 0 = \log_5 50 + \log_5 \frac{1}{2} = \log_5 \left( 50 \cdot \frac{1}{2} \right) = \log_5 25 \]Так как \( 5^2 = 25 \), то:\[ \log_5 25 = 2 \]
2. б)\[ 10^{2-3 \lg 5} \]Используя свойства степеней \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \) и определение десятичного логарифма \( \lg x = \log_{10} x \):\[ 10^{2-3 \lg 5} = \frac{10^2}{10^{3 \lg 5}} = \frac{100}{(10^{\lg 5})^3} \]Так как \( 10^{\lg 5} = 5 \), то:\[ \frac{100}{5^3} = \frac{100}{125} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

Ответ: а) 2, б) 0.8.