№ 5. Решить логарифмическое уравнение и неравенство:

Решение:

1. а) Решить уравнение:\[ \log_{0.5} (x+5) = -2 \]По определению логарифма: \( x+5 = (0.5)^{-2} \)\[ x+5 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4 \]\[ x = 4 - 5 \]\[ x = -1 \]Проверка ОДЗ: \( x+5 > 0 \) → \( -1+5 = 4 > 0 \). Решение подходит.
2. б) Решить неравенство:\[ \log_4 (x+30) \le 3 \]Потенцируем обе части неравенства по основанию 4. Так как основание \( 4 > 1 \), знак неравенства сохраняется:\[ x+30 \le 4^3 \]\[ x+30 \le 64 \]\[ x \le 64 - 30 \]\[ x \le 34 \]Учитываем ОДЗ: \( x+30 > 0 \) → \( x > -30 \). Объединяя оба условия, получаем:\[ -30 < x \le 34 \]

Ответ: а) \( x = -1 \). б) \( x \in (-30; 34] \).