4. Вычислить периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке Е и делит ее на отрезки АE= 17 и ED=21.

Решение:

Дано: ABCD — прямоугольник. BE — биссектриса угла B. AE = 17, ED = 21.

Найти: Периметр прямоугольника ABCD.

1. Так как ABCD — прямоугольник, то AD = AE + ED = 17 + 21 = 38.
2. Так как BE — биссектриса угла B, то \( \angle ABE = \angle EBC \).
3. В прямоугольнике AB || CD и BC || AD. Угол B прямой \( \angle B = 90^{\circ} \).
4. Рассмотрим углы \( \angle ABE \) и \( \angle AEB \). В прямоугольнике BC || AD, а BE — секущая. Следовательно, \( \angle ABE = \angle AEB \) как накрест лежащие углы.
5. Из \( \angle ABE = \angle EBC \) и \( \angle ABE = \angle AEB \) следует, что \( \angle EBC = \angle AEB \).
6. В треугольнике ABE: \( \angle BAE = 90^{\circ} \). Так как \( \angle ABE = \angle AEB \), то треугольник ABE — равнобедренный. Следовательно, AB = AE = 17.
7. Стороны прямоугольника равны AB = 17 и AD = 38.
8. Периметр прямоугольника ABCD вычисляется по формуле \( P = 2(a + b) \).
9. \( P = 2(AB + AD) = 2(17 + 38) = 2(55) = 110 \).

Ответ: 110.