4. Вычислить площадь фигуры по готовому чертежу.

По чертежу область заключена между параболой \(y=x^2+1\) и прямой \(y=x+3\); границы по оси \(x\) — точки пересечения с абсциссами \(-1\) и \(2\). На этом отрезке прямая расположена выше параболы.

\[S=\int_{-1}^{2}\bigl((x+3)-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.\]

\[S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Big|_{-1}^{2}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{9}{2}.\]

Ответ: \(\frac{9}{2}\).