4. Вычислите наиболее удобным способом: а) 100+200+300+…+900+1000; б) 6+12+18+…+90+96; в) 99−97+95−93+…+3−1; а) 150+250+350+…+950; б) 5+10+15+…+90+95; в) 101−99+97−95+93−…−3+1.

а) Сгруппируем числа попарно: \((100+1000)+(200+900)+(300+800)+(400+700)+(500+600)=5\cdot1100=5500\).

б) Вынесем общий множитель 6: \(6+12+\cdots+96=6(1+2+\cdots+16)=6\cdot136=816\).

в) Каждая пара равна 2, таких пар 25: \((99-97)+(95-93)+\cdots+(3-1)=25\cdot2=50\).

а) Девять чисел образуют пять пар с суммой 1100 и средним числом 550; удобнее сложить крайние пары и середину: \((150+950)+(250+850)+(350+750)+(450+650)+550=4\cdot1100+550=4950\).

б) Вынесем 5: \(5+10+\cdots+95=5(1+2+\cdots+19)=5\cdot190=950\).

в) Сгруппируем соседние слагаемые: \((101-99)+(97-95)+\cdots+(5-3)+1\). Здесь 25 пар по 2 и последнее слагаемое 1: \(25\cdot2+1=51\).

Ответ: а) 5500; б) 816; в) 50; а) 4950; б) 950; в) 51.