№4. Выполните действия: 1) $\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}$; 2) $\left(\frac{2a^2-a}{a^2-a+1}-2\right):\left(\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{a^2-a+1}\right)$; 3) $\left(\frac{2a-0{,}5b}{4a^2+ab+0{,}25b^2}+\frac{24ab}{64a^3-b^3}+\frac{1}{2a-0{,}5b}\right)\cdot\frac{4a-b}{4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: №4. Выполните действия: 1) $\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}$; 2)…$ Фото задания

№4. Выполните действия: 1) $\frac{x-y}{2x+y}+\frac{1}{x-y}\cdot\frac{x^2-y^2}{2x+y}$; 2) $\left(\frac{2a^2-a}{a^2-a+1}-2\right):\left(\frac{1}{a+1}-\frac{a-1}{a^2-a+1}\right)$; 3) $\left(\frac{2a-0{,}5b}{4a^2+ab+0{,}25b^2}+\frac{24ab}{64a^3-b^3}+\frac{1}{2a-0{,}5b}\right)\cdot\frac{4a-b}{4}$.

Accepted Answer

Во втором слагаемом используем $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $\frac{x-y}{2x+y}+\frac{x+y}{2x+y}=\frac{2x}{2x+y}$.
Обозначим $D=a^2-a+1$. Первая скобка равна $\frac{2a^2-a-2D}{D}=\frac{a-2}{D}$. Вторая скобка равна $\frac{D-(a-1)(a+1)}{(a+1)D}=\frac{2-a}{(a+1)D}$. Делим первую скобку на вторую: $\frac{a-2}{D}\cdot\frac{(a+1)D}{2-a}=-(a+1)$.
Преобразуем отдельные дроби, сохраняя их сумму. Пусть $t=2a-0{,}5b=\frac{4a-b}{2}$. Тогда $4a^2+ab+0{,}25b^2=t^2+2ab$, а $64a^3-b^3=(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)$. Выражение равно $\frac{t}{4a^2+ab+0{,}25b^2}+\frac{24ab}{64a^3-b^3}+\frac1t$, умноженному на $\frac{4a-b}{4}$. Складываем первые и третьи дроби: $\frac{t}{4a^2+ab+0{,}25b^2}+\frac1t=\frac{8a^2+0{,}5b^2}{t(4a^2+ab+0{,}25b^2)}$. Поэтому итог: $\frac{4a-b}{4}\left(\frac{8a^2+0{,}5b^2}{(2a-0{,}5b)(4a^2+ab+0{,}25b^2)}+\frac{24ab}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)}\right)$.

Ответ: 1) $\frac{2x}{2x+y}$; 2) $-(a+1)$; 3) $\frac{4a-b}{4}\left(\frac{8a^2+0{,}5b^2}{(2a-0{,}5b)(4a^2+ab+0{,}25b^2)}+\frac{24ab}{(4a-b)(16a^2+4ab+b^2)}\right)$.