4. Выполните действия. (2ab / (a^2 - b^2) + (a - b) / (2a + 2b)) * (2a / (a + b) + b / (b - a))

Решение:

1. Упрощение первого выражения в скобках:
• \[ \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a - b}{2(a+b)} \]
• Приведем к общему знаменателю 2(a-b)(a+b):
• \[ \frac{2ab \cdot 2}{(a-b)(a+b) \cdot 2} + \frac{(a - b) \cdot (a-b)}{2(a+b) \cdot (a-b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a^2 - b^2)} \]
• Раскроем квадрат разности:
• \[ \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a^2 - b^2)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a^2 - b^2)} = \frac{(a+b)^2}{2(a^2 - b^2)} \]
2. Упрощение второго выражения в скобках:
• \[ \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} = \frac{2a}{a+b} - \frac{b}{a-b} \]
• Приведем к общему знаменателю (a+b)(a-b):
• \[ \frac{2a(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a^2 - 2ab - ab - b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)} \]
3. Перемножение упрощенных выражений:
• \[ \frac{(a+b)^2}{2(a^2 - b^2)} \cdot \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} \cdot \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)} \]
• Сокращаем (a+b):
• \[ \frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a^2 - 3ab - b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a+b}{2(a-b)^2(a+b)} (2a^2 - 3ab - b^2) \]
• Квадратный трехчлен 2a² - 3ab - b² можно разложить на множители: (2a + b)(a - b).
• \[ \frac{a+b}{2(a-b)^2(a+b)} \cdot (2a+b)(a-b) = \frac{(a+b)(2a+b)(a-b)}{2(a-b)^2(a+b)} \]
• Сокращаем (a+b) и (a-b):
• \[ \frac{2a+b}{2(a-b)} \]

Ответ: $$\frac{2a+b}{2(a-b)}$$