6. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно один раз.

Решение:

1. Определим вероятность выигрыша жребия в одном матче:

• При броске монетки есть два равновероятных исхода: орел или решка.
• Предположим, что выигрыш жребия для команды «Физик» соответствует одному из этих исходов (например, выпадение орла).
• Вероятность выигрыша жребия в одном матче (P(В)) = 1/2.
• Вероятность проигрыша жребия в одном матче (P(П)) = 1/2.

2. Определим все возможные исходы трех матчей:

• Количество исходов для каждого матча = 2.
• Общее количество исходов для трех матчей = 2 * 2 * 2 = 2³ = 8.
• Перечислим все исходы (В - выигрыш, П - проигрыш):
• ВВВ
• ВВП
• ВПВ
• ПВВ
• ВПП
• ПВП
• ППВ
• ППП

3. Определим исходы, в которых «Физик» выиграет жребий ровно один раз:

• Эти исходы: ВПП, ПВП, ППВ.
• Таких исходов = 3.

4. Найдем вероятность события:

• Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)
• \[ P(\text{ровно один выигрыш}) = \frac{3}{8} \]

Альтернативный способ (используя формулу Бернулли):

• Вероятность наступления события k раз в n испытаниях: P_n(k) = C_n^k * p^k * q^(n-k)
• Где:
• n = 3 (количество матчей)
• k = 1 (количество выигрышей)
• p = 1/2 (вероятность выигрыша в одном матче)
• q = 1/2 (вероятность проигрыша в одном матче)
• C_n^k = n! / (k! * (n-k)!) — число сочетаний.
• \[ C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (2 \cdot 1)} = 3 \]
• \[ P_3(1) = 3 \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^{(3-1)} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8} \]

Ответ: Вероятность того, что команда «Физик» выиграет жребий ровно один раз, равна 3/8.