5. В трапеции ABCD основание BC равно 1 см, боковая сторона AB наклонена к основанию AD под углом 45°. Точка F – основание высоты трапеции – делит сторону AD на отрезки AF = 6 см и FD = 11 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Дано:

• Трапеция ABCD.
• BC = 1 см.
• ∠BAD = 45°.
• F — основание высоты, опущенной из B на AD.
• AF = 6 см.
• FD = 11 см.

Найти: Площадь трапеции S_ABCD.

1. Определим длину основания AD:

• AD = AF + FD = 6 см + 11 см = 17 см.

2. Найдем высоту трапеции (BF):

• В прямоугольном треугольнике ABF:
• ∠FAB = 45°. Следовательно, ∠AFB = 90°.
• Так как ∠BAD = 45°, то треугольник ABF является равнобедренным прямоугольным треугольником.
• Значит, BF = AF = 6 см.

3. Найдем площадь трапеции:

• Формула площади трапеции: S = ½(a + b)h, где 'a' и 'b' — основания, 'h' — высота.
• В нашем случае: a = AD = 17 см, b = BC = 1 см, h = BF = 6 см.
• \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot BF \]
• \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2}(17 + 1) \cdot 6 \]
• \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2}(18) \cdot 6 \]
• \[ S_{ABCD} = 9 \cdot 6 \]
• \[ S_{ABCD} = 54 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь трапеции равна 54 см².