4. Выполните действия: а) \(\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{a+b}\); б) \(\left(a-\dfrac{a}{b}\right)\left(a+\dfrac{a}{b}\right)\); в) \(\left(\dfrac{1}{a-b}-\dfrac{1}{a+b}\right):\dfrac{2}{3a-3b}\); г) \(\left(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y}\right):\dfrac{2}{x-y}\); д) \(\dfrac{a+b}{b}\cdot\left(\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a-b}{a}\right)\); е) \(\left(\dfrac{4m}{m+2}+2m\right)\cdot\dfrac{m+2}{4m^2}\).

а) Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{a(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\dfrac{a^2+2ab-b^2}{a^2-b^2}\), где \(a\ne b\), \(a\ne -b\).

б) Применим формулу разности квадратов:

\(\left(a-\dfrac{a}{b}\right)\left(a+\dfrac{a}{b}\right)=a^2-\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{a^2(b^2-1)}{b^2}\), где \(b\ne 0\).

в) Сначала упростим разность, затем умножим на обратную дробь:

\(\left(\dfrac{1}{a-b}-\dfrac{1}{a+b}\right):\dfrac{2}{3a-3b}=\dfrac{2b}{(a-b)(a+b)}\cdot\dfrac{3(a-b)}{2}=\dfrac{3b}{a+b}\), где \(a\ne b\), \(a\ne -b\).

г) Упростим разность и выполним деление:

\(\left(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y}\right):\dfrac{2}{x-y}=\dfrac{2y}{(x-y)(x+y)}\cdot\dfrac{x-y}{2}=\dfrac{y}{x+y}\), где \(x\ne y\), \(x\ne -y\).

д) Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{a^2-(a-b)(a+b)}{a(a+b)}=\dfrac{b^2}{a(a+b)}\).

Тогда \(\dfrac{a+b}{b}\cdot\dfrac{b^2}{a(a+b)}=\dfrac{b}{a}\), где \(a\ne 0\), \(b\ne 0\), \(a\ne -b\).

е) Сначала приведём сумму в скобках к общему знаменателю:

\(\left(\dfrac{4m}{m+2}+2m\right)\cdot\dfrac{m+2}{4m^2}=\dfrac{4m+2m(m+2)}{m+2}\cdot\dfrac{m+2}{4m^2}=\dfrac{2m(m+4)}{4m^2}=\dfrac{m+4}{2m}\), где \(m\ne -2\), \(m\ne 0\).