4. Выполните действия: а) \(\frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b}\); б) \(\left(a-\frac{a}{b}\right)\left(a+\frac{a}{b}\right)\); в) \(\left(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}\right):\frac{2}{3a-3b}\); г) \(\left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right):\frac{2}{x-y}\); д) \(\frac{a+b}{b}\cdot\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}\right)\); е) \(\left(\frac{4m}{m+2}+2m\right)\cdot\frac{m+2}{4m^2}\).

а)

Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b}=\frac{a(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+2ab-b^2}{a^2-b^2}\).

Условие: \(a\ne b\), \(a\ne-b\).

б)

Применим формулу разности квадратов:

\(\left(a-\frac{a}{b}\right)\left(a+\frac{a}{b}\right)=a^2-\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2(b^2-1)}{b^2}\).

Условие: \(b\ne0\).

в)

Сначала упростим разность, затем разделим на дробь, умножив на обратную:

\(\left(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}\right):\frac{2}{3a-3b}=\frac{2b}{(a-b)(a+b)}\cdot\frac{3(a-b)}{2}=\frac{3b}{a+b}\).

Условия: \(a\ne b\), \(a\ne-b\).

г)

Упростим разность и выполним деление:

\(\left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right):\frac{2}{x-y}=\frac{2y}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{x-y}{2}=\frac{y}{x+y}\).

Условия: \(x\ne y\), \(x\ne-y\).

д)

Вычтем дроби в скобках:

\(\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a}=\frac{a^2-(a-b)(a+b)}{a(a+b)}=\frac{b^2}{a(a+b)}\).

Умножим на внешний множитель и сократим:

\(\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b^2}{a(a+b)}=\frac{b}{a}\).

Условия: \(a\ne0\), \(b\ne0\), \(a+b\ne0\).

е)

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{4m}{m+2}+2m=\frac{4m+2m(m+2)}{m+2}=\frac{2m(m+4)}{m+2}\).

Умножим и сократим общие множители:

\(\frac{2m(m+4)}{m+2}\cdot\frac{m+2}{4m^2}=\frac{m+4}{2m}\).

Условия: \(m\ne-2\), \(m\ne0\).

Ответ: а) \(\frac{a^2+2ab-b^2}{a^2-b^2}\); б) \(\frac{a^2(b^2-1)}{b^2}\); в) \(\frac{3b}{a+b}\); г) \(\frac{y}{x+y}\); д) \(\frac{b}{a}\); е) \(\frac{m+4}{2m}\).