4) Выполните сложение или вычитание дробей: а) $\frac{x+4}{xy-x^2}+\frac{y+4}{xy-y^2}$; б) $\frac{3a(x-9a)}{x^2-3ax}-\frac{3a^2-x^2}{ax-3a^2}$; в) $\frac{4}{c^2-9}-\frac{2}{c^2+3c}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4) Выполните сложение или вычитание дробей: а) $\frac{x+4}{xy-x^2}+\frac{y+4}{xy-y^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим знаменатели: $xy-x^2=x(y-x)$, $xy-y^2=y(x-y)=-y(y-x)$. Тогда \[\frac{x+4}{x(y-x)}+\frac{y+4}{y(x-y)}=\frac{x+4}{x(y-x)}-\frac{y+4}{y(y-x)}=\frac{y(x+4)-x(y+4)}{xy(y-x)}=\frac{4y-4x}{xy(y-x)}=-\frac{4}{xy}.\]
б) Разложим знаменатели: $x^2-3ax=x(x-3a)$, $ax-3a^2=a(x-3a)$. Тогда \[\frac{3a(x-9a)}{x(x-3a)}-\frac{3a^2-x^2}{a(x-3a)}=\frac{3a^2(x-9a)-x(3a^2-x^2)}{ax(x-3a)}=\frac{3a^2x-27a^3-3a^2x+x^3}{ax(x-3a)}=\frac{x^3-27a^3}{ax(x-3a)}.\] Так как $x^3-27a^3=(x-3a)(x^2+3ax+9a^2)$, получаем $\frac{x^2+3ax+9a^2}{ax}$.
в) $c^2-9=(c-3)(c+3)$, $c^2+3c=c(c+3)$: \[\frac{4}{(c-3)(c+3)}-\frac{2}{c(c+3)}=\frac{4c-2(c-3)}{c(c-3)(c+3)}=\frac{2c+6}{c(c-3)(c+3)}=\frac{2}{c(c-3)}.\]

Ответ: а) $-\frac{4}{xy}$; б) $\frac{x^2+3ax+9a^2}{ax}$; в) $\frac{2}{c(c-3)}$.

4) Выполните сложение или вычитание дробей: а) \(\frac{x+4}{xy-x^2}+\frac{y+4}{xy-y^2}\); б) \(\frac{3a(x-9a)}{x^2-3ax}-\frac{3a^2-x^2}{ax-3a^2}\); в) \(\frac{4}{c^2-9}-\frac{2}{c^2+3c}\).