4. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к AD, то \(BM\perp AD\), и треугольник ABM прямоугольный с прямым углом при M. Угол между BM и AB равен 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике катет AM, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы:

\(AB=2AM=2\cdot4=8\) см. Все стороны ромба равны, значит, \(AD=8\) см.

Поскольку M лежит на стороне AD, угол между AB и AD равен \(90°-30°=60°\). В треугольнике ABD стороны AB и AD равны, а угол между ними равен 60°, поэтому треугольник ABD равносторонний.

Ответ: BD = 8 см.