4. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. Длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Поскольку BM — высота к прямой AD, BM ⟂ AD. В прямоугольном треугольнике ABM угол ABM равен 30°, а угол AMB — 90°. Поэтому AM = AB · sin 30° = AB/2.

Точка M лежит на продолжении стороны AD за точку A, поэтому угол DAB тупой. Так как угол между AB и BM равен 30°, угол DAB равен 120°. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол ABC равен 60° (соседние углы ромба в сумме дают 180°). Следовательно, треугольник ABC равносторонний, и AB = AC = 6 см.

Тогда AM = 6/2 = 3 см.

Ответ: 3 см.