4. Высота КР треугольника MNK делит его сторону MN на отрезки MP и PN. Найдите сторону KN, если MP = 4√3 см, PN = 3 см, ∠MKP = 60°.

Дано:

• Треугольник MNK
• KP - высота, опущенная на MN.
• KP ⊥ MN
• MP = 4√3 см
• PN = 3 см
• ∠MKP = 60°

Найти:

• KN

Решение:

KP является высотой, значит, ∠KPM = 90° и ∠KPN = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KPN:

По теореме Пифагора:

\[ KN^2 = KP^2 + PN^2 \]

Нам нужно найти KP.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKP:

∠MKP = 60°, ∠KPM = 90°.

В прямоугольном треугольнике MKP:

\[ an(∠MKP) = \frac{KP}{MP} \]

\[ an(60^°) = \frac{KP}{4√3} \]

Мы знаем, что √3 = tan(60°).

\[ √3 = \frac{KP}{4√3} \]

\[ KP = √3 4√3 = 4 (√3)^2 = 4 3 = 12 \]

Итак, высота KP = 12 см.

Теперь подставим значение KP в теорему Пифагора для треугольника KPN:

\[ KN^2 = KP^2 + PN^2 \]

\[ KN^2 = 12^2 + 3^2 \]

\[ KN^2 = 144 + 9 \]

\[ KN^2 = 153 \]

\[ KN = √153 \]

Разложим 153 на множители: 153 = 9 17.

\[ KN = √(9 17) = √9 √17 = 3√17 \]

Ответ: 3√17 см