5. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.

Дано:

• Равнобокая трапеция ABCD, BC || AD.
• BC = 12 см (меньшее основание)
• AD = 18 см (большее основание)
• Диагональ AC является биссектрисой острого угла ∠BAD.

Найти:

• Площадь трапеции ABCD.

Решение:

Пусть AC - диагональ, являющаяся биссектрисой ∠BAD.

Так как BC || AD, то ∠BCA = ∠CAD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

По условию, AC - биссектриса ∠BAD, значит, ∠BAC = ∠CAD.

Следовательно, ∠BCA = ∠BAC.

В треугольнике ABC стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, AB = BC.

Так как трапеция равнобокая, то AB = CD.

Следовательно, AB = BC = CD = 12 см.

Теперь нам нужно найти высоту трапеции.

Проведем высоту BK из вершины B к основанию AD. Тогда AK = (AD - BC) / 2, так как трапеция равнобокая.

\[ AK = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AK^2 + BK^2 \]

\[ 12^2 = 3^2 + BK^2 \]

\[ 144 = 9 + BK^2 \]

\[ BK^2 = 144 - 9 = 135 \]

\[ BK = √135 = √(9 15) = 3√15 \]

Высота трапеции h = BK = 3√15 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a + b}{2} h \]

где a и b - основания, h - высота.

\[ S = \frac{12 + 18}{2} 3√15 \]

\[ S = \frac{30}{2} 3√15 \]

\[ S = 15 3√15 \]

\[ S = 45√15 \]

Ответ: 45√15 см²