5. Из точки М окружности опущен перпендикуляр MF на её диаметр DE, DM = 2√30 см. Найдите радиус окружности, если отрезок DF на 8 см меньше отрезка FE.

Дано:

• Окружность с диаметром DE.
• M - точка на окружности.
• MF ⊥ DE, F лежит на DE.
• DM = 2√30 см.
• DF = FE - 8 см.

Найти:

• Радиус окружности (R).

Решение:

Так как DE - диаметр, то ∠DME = 90° (угол, опирающийся на диаметр).

MF - высота, опущенная на гипотенузу DE в прямоугольном треугольнике DME.

По свойствам прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла высота делит гипотенузу на отрезки DF и FE, причем квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий отрезок гипотенузы:

\[ DM^2 = DF DE \]

\[ ME^2 = FE DE \]

И квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\[ MF^2 = DF FE \]

Мы знаем, что DF = FE - 8.

Диаметр DE = DF + FE.

Подставим DF в выражение для DE:

\[ DE = (FE - 8) + FE = 2 FE - 8 \]

Теперь используем первое соотношение:

\[ DM^2 = DF DE \]

\[ (2√30)^2 = (FE - 8) (2 FE - 8) \]

\[ 4 30 = (FE - 8) 2(FE - 4) \]

\[ 120 = 2(FE - 8)(FE - 4) \]

\[ 60 = (FE - 8)(FE - 4) \]

\[ 60 = FE^2 - 4FE - 8FE + 32 \]

\[ 60 = FE^2 - 12FE + 32 \]

\[ FE^2 - 12FE + 32 - 60 = 0 \]

\[ FE^2 - 12FE - 28 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно FE:

\[ FE = \frac{-(-12) √((-12)^2 - 4 1 (-28))}{2 1} \]

\[ FE = \frac{12 √(144 + 112)}{2} \]

\[ FE = \frac{12 √256}{2} \]

\[ FE = \frac{12 16}{2} \]

Два возможных значения для FE:

\[ FE_1 = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]

\[ FE_2 = \frac{12 - 16}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому FE = 14 см.

Теперь найдем DF:

\[ DF = FE - 8 = 14 - 8 = 6 \]

Найдем диаметр DE:

\[ DE = DF + FE = 6 + 14 = 20 \]

Радиус окружности - это половина диаметра:

\[ R = \frac{DE}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Проверим с помощью DM:

\[ DM^2 = DF DE \]

\[ (2√30)^2 = 6 20 \]

\[ 4 30 = 120 \]

\[ 120 = 120 \]

Верно.

Ответ: 10 см