4) y = x⁻⁴ − 5. Найдите область определения и область значений функции, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, укажите ограниченность функции, заполните таблицу дополнительных точек и постройте график.

Свойства функции

1. Поскольку \(x^{-4}=\frac{1}{x^4}\), значение \(x=0\) исключается из области определения. Область определения — \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
2. Для всех допустимых \(x\) имеем \(\frac{1}{x^4}>0\), поэтому \(y>-5\). Значение \(-5\) не достигается. Область значений — \((-5;+\infty)\).
3. Производная равна \(y'=-4x^{-5}\): она положительна при \(x<0\) и отрицательна при \(x>0\). Функция возрастает на \((-\infty;0)\) и убывает на \((0;+\infty)\).
4. Наибольшего и наименьшего значений нет. Функция ограничена снизу числом \(-5\), но не ограничена сверху.

Ноль не включаем в таблицу, так как функция в нём не определена. Для остальных выбранных значений вычисляем \(y=\frac{1}{x^4}-5\).

График имеет две симметричные относительно оси \(y\) ветви; асимптоты — \(x=0\) и \(y=-5\).

Ответ: область определения — \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\); область значений — \((-5;+\infty)\); возрастает на \((-\infty;0)\), убывает на \((0;+\infty)\); наибольшего и наименьшего значений нет; ограничена снизу.