4) $$y = x \cdot tgx$$

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = x \cdot tgx \) применяем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

1. Обозначим \( u = x \) и \( v = tgx \).
2. Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
• \( u' = (x)' = 1 \)
• \( v' = (tgx)' = \frac{1}{\cos^2 x} \)
3. Подставим найденные значения в формулу производной произведения:
\( y' = 1 \cdot tgx + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \)
4. Упростим выражение:
\( y' = tgx + \frac{x}{\cos^2 x} \)

Ответ: \( y' = tgx + \frac{x}{\cos^2 x} \).