№4 Задача: Периметр треугольника АВС, в который вписана окружность, равен 36 см. Точка касания делит сторону А В на отрезки 4 см и 6 см. Найдите длину третьей стороны ВС.

Решение:

1. Свойства касательных: Из одной точки, вне окружности, проведены две касательные к окружности, то их отрезки от этой точки до точек касания равны.
2. Обозначения:
   • Пусть точки касания окружности со сторонами AB, BC, AC будут соответственно D, E, F.
   • Тогда AD = AF, BD = BE, CE = CF.
3. Данные по AB: Сторона AB разделена на отрезки 4 см и 6 см. То есть, AD = 6 см и BD = 4 см (или наоборот, это не повлияет на результат).
4. Отрезки других сторон:
   • AF = AD = 6 см.
   • BE = BD = 4 см.
5. Периметр треугольника: Периметр (P) = AB + BC + AC.
6. Составим длины сторон через отрезки:
   • AB = AD + DB = 6 + 4 = 10 см.
   • BC = BE + EC = 4 + EC.
   • AC = AF + FC = 6 + FC.
7. Подставим в формулу периметра: 36 см = 10 см + (4 + EC) + (6 + FC)
8. Упростим: 36 = 10 + 4 + EC + 6 + FC
9. 36 = 20 + EC + FC
10. EC + FC = 36 - 20 = 16 см.
11. Найдем длину стороны BC: BC = BE + EC. Мы знаем BE = 4 см. Отрезки EC и FC равны, так как они касательные, проведенные из точки C.
12. Поэтому: EC = FC.
13. Тогда: EC + EC = 16 см
14. 2EC = 16 см
15. EC = 8 см.
16. Теперь найдем BC: BC = BE + EC = 4 см + 8 см = 12 см.

Ответ: Длина третьей стороны ВС равна 12 см.