4. Знайдзіце значэнне выразу $$(\sqrt{2})^{\log_2 25} + 2^{\log_\sqrt{2} 13}$$.

Пачнем з першага складніка:

1. Выкарыстаем уласцівасць логарыфмаў: $$a^{\log_a b} = b$$. Каб прымяніць гэту ўласцівасць, трэба змяніць асновы.
2. Ператворым корань: $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$.
3. Перапішам першы складнік: $$(\sqrt{2})^{\log_2 25} = (2^{\frac{1}{2}})^{\log_2 25}$$.
4. Ужывём уласцівасць ступеняў: $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$. Атрымаем: $$2^{\frac{1}{2} \times \log_2 25}$$.
5. Ператворым логарыфм: $$\frac{1}{2} \log_2 25 = \log_2 (25^{\frac{1}{2}}) = \log_2 (\sqrt{25}) = \log_2 5$$.
6. Падставім назад: $$2^{\log_2 5}$$.
7. Прымянім уласцівасць $$a^{\log_a b} = b$$: $$2^{\log_2 5} = 5$$.

Цяпер разбярэмся з другім складнікам:

1. Ператворым асновы логарыфма: $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$.
2. Запішам другі складнік: $$2^{\log_{2^{\frac{1}{2}}} 13}$$.
3. Выкарыстаем уласцівасць логарыфма: $$\log_{a^m} b = \frac{1}{m} \log_a b$$. Атрымаем: $$2^{\frac{1}{1/2} \log_2 13} = 2^{2 \log_2 13}$$.
4. Ужывём уласцівасць ступеняў: $$2^{2 \log_2 13} = (2^{\log_2 13})^2$$.
5. Прымянім уласцівасць $$a^{\log_a b} = b$$: $$(2^{\log_2 13})^2 = 13^2 = 169$$.

Сумясцім вынікі:

1. Першы складнік роўны: 5.
2. Другі складнік роўны: 169.
3. Выніковая сума: $$5 + 169 = 174$$.

Адказ: 174