40.10. Решите уравнение: а) \(\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0,81^{-2x}\); б) \(\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4}=20,25^{x+1}\).

а) Обозначим \(A=\ln\frac{\sqrt{10}}{3}\), \(B=\ln 0,81\). Логарифмируем обе части:

\((3x^2-3)A=-2xB\).

Получаем квадратное уравнение:

\(3Ax^2+2Bx-3A=0\).

Следовательно,

\[x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2+9A^2}}{3A}.\]

То есть

\[x=\frac{-\ln 0,81\pm\sqrt{(\ln 0,81)^2+9\left(\ln\frac{\sqrt{10}}3\right)^2}}{3\ln\frac{\sqrt{10}}3}.\]

б) Обозначим \(C=\ln\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt3}\), \(D=\ln20,25\). После логарифмирования:

\((x^2+4)C=(x+1)D\).

Получаем:

\(Cx^2-Dx+4C-D=0\).

Отсюда

\[x=\frac{D\pm\sqrt{D^2-4C(4C-D)}}{2C}.\]

То есть

\[x=\frac{\ln20,25\pm\sqrt{(\ln20,25)^2-4\ln\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt3}\left(4\ln\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt3}-\ln20,25\right)}}{2\ln\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt3}}.\]

Ответ: корни указаны в полученных формулах.