40.12. Решите уравнение: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в) $3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$; г) $\left(0,1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 40.12. Решите уравнение: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Область допустимых значений: $x\ge1$.

\[27^{\sqrt{x-1}}=3^{3\sqrt{x-1}},\qquad \sqrt{9^{x+1}}=3^{x+1}.\]

Поэтому

\[3\sqrt{x-1}=x+1.\]

Положим $t=\sqrt{x-1}$, тогда $x=t^2+1$:

\[3t=t^2+2,\qquad t^2-3t+2=0.\]

$t=1$ или $t=2$, поэтому $x=2$ или $x=5$.

б)

\[\sqrt2\cdot\sqrt{32}=\sqrt{64}=8=2^3.\]

Тогда

\[\sqrt{13-x^2}=3,\]

\[13-x^2=9,\qquad x^2=4.\]

Следовательно, $x=-2$ или $x=2$.

в) Так как $243=3^5$, имеем

\[3^x\cdot3^{-\sqrt{x+1}}=3^5.\]

Следовательно,

\[x-\sqrt{x+1}=5.\]

Положим $t=\sqrt{x+1}$, тогда $x=t^2-1$:

\[t^2-1-t=5,\qquad t^2-t-6=0.\]

Корни: $t=3$ и $t=-2$. Так как $t\ge0$, берём $t=3$. Тогда $x=8$.

г) Область допустимых значений: $x\ge-1$.

\[\left(0,1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}}.\]

Правая часть равна $10^{-6}$, поэтому

\[\sqrt{(x+1)(x+6)}=6.\]

Возводим в квадрат:

\[(x+1)(x+6)=36,\]

\[x^2+7x-30=0,\]

\[(x-3)(x+10)=0.\]

Корни: $x=3$ и $x=-10$. Условию $x\ge-1$ удовлетворяет только $x=3$.

Ответ: а) $x=2;5$; б) $x=-2;2$; в) $x=8$; г) $x=3$.

40.12. Решите уравнение: а) \(27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}\); б) \(2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}\); в) \(3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243\); г) \(\left(0,1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}\).