40.11. Решите уравнение: а) \(\sqrt{625}\cdot\sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{125}\cdot5^{6x-12}\); б) \(\sqrt[3]{0,2}\cdot\sqrt{0,2^{2x-\frac13}}=\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}\).

а) Представим все множители как степени числа 5:

\(\sqrt{625}=5^2\), \(\sqrt{5^{14x-9}}=5^{\frac{14x-9}{2}}\), \(\sqrt[6]{125}=5^{\frac12}\).

Тогда

\[5^{2+\frac{14x-9}{2}}=5^{\frac12+6x-12}.\]

Приравниваем показатели:

\[2+\frac{14x-9}{2}=\frac12+6x-12,\]

\[7x-\frac52=6x-\frac{23}{2},\]

\[x=-9.\]

б) Представим правую часть через основание \(0,2\), поскольку \(0,04=(0,2)^2\):

\[0,2^{\frac13+\frac{2x-\frac13}{2}}=0,2^{\frac{2(-3x+6)}3}.\]

Приравниваем показатели:

\[\frac13+\frac{2x-\frac13}{2}=-2x+4,\]

\[x+\frac16=-2x+4,\]

\[3x=\frac{23}{6},\qquad x=\frac{23}{18}.\]

Ответ: а) \(x=-9\); б) \(x=\frac{23}{18}\).