403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, AC = 12 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\). Диагональ \(AC=12\) см — его гипотенуза.

Так как \(\angle CAD=30^\circ\), то

\(AD=AC\cos30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\) см.

Сторона, лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы:

\(DC=\frac{AC}{2}=6\) см.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому \(AB=DC=6\) см.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам:

\(AO=BO=\frac{AC}{2}=6\) см.

Периметр треугольника \(AOB\):

\(P_{AOB}=AO+BO+AB=6+6+6=18\) см.

Ответ: 18 см.