408. Решите уравнение: а) √(7x + 2) = −4; б) ∛(x + 7) = −1; в) √(15 − 2x) = x; г) x^(1/3) + 3x^(1/6) − 4 = 0; д) (x² − 16)√(x² − 9x + 8) = 0.

а) Квадратный корень неотрицателен, поэтому он не может равняться −4.

Ответ: корней нет.

б) Возводим обе части в третью степень: \(x+7=(-1)^3=-1\), откуда \(x=-8\). Проверка: \(\sqrt[3]{-8+7}=-1\).

Ответ: \(x=-8\).

в) Область допустимых значений: \(x\geq 0\), \(15-2x\geq 0\). Возводим в квадрат: \(15-2x=x^2\), то есть \(x^2+2x-15=0\). Разложение: \((x+5)(x-3)=0\), поэтому кандидаты \(x=-5\) и \(x=3\). Условию ОДЗ удовлетворяет только \(x=3\); проверка: \(\sqrt{15-6}=3\).

Ответ: \(x=3\).

г) ОДЗ: \(x\geq0\). Положим \(t=\sqrt[6]{x}\), тогда \(t\geq0\), \(x^{1/3}=t^2\), \(x^{1/6}=t\). Получаем \(t^2+3t-4=0\), или \((t+4)(t-1)=0\). С учётом \(t\geq0\), \(t=1\), следовательно, \(x=1\). Проверка: \(1+3-4=0\).

Ответ: \(x=1\).

д) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

1. \(x^2-16=0\), откуда \(x=4\) или \(x=-4\). Для обоих значений подкоренное выражение неотрицательно.
2. \(\sqrt{x^2-9x+8}=0\), значит \(x^2-9x+8=0\). Факторизация даёт \((x-1)(x-8)=0\), откуда \(x=1\) или \(x=8\).

Ответ: \(x\in\{-4,1,4,8\}\).