409. (Задача-исследование.) Найдите всевозможные значения a, где a — натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и a. 1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15. 2) Обратите внимание на ... [фрагмент условия обрезан]

Разложим числа на простые множители:

\[90=2\cdot3^2\cdot5,\qquad15=3\cdot5.\]

Чтобы НОК чисел 15 и \(a\) был равен 90, число \(a\) должно быть делителем 90 и обязательно содержать множитель 2 и две степени числа 3. Множитель 5 может входить в число \(a\) или не входить.

Получаем два значения:

• \(a=2\cdot3^2=18\);
• \(a=2\cdot3^2\cdot5=90\).

Проверка: \(\operatorname{НОК}(15,18)=90\), \(\operatorname{НОК}(15,90)=90\).

Ответ: \(a=18\) или \(a=90\).