41. Докажите сформулированные признаки ромба. 2) Дано: ABCD — параллелограмм, AC ⟂ BD. Доказать: ABCD — ромб.

Дано: ABCD — параллелограмм, AC ⟂ BD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Доказательство. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BO — медиана треугольника ABC. Так как BO ⟂ AC, медиана BO является высотой этого треугольника. Если медиана треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный, поэтому AB = BC. По доказанному в пункте 1 параллелограмм ABCD с равными соседними сторонами является ромбом.