41. Докажите сформулированные признаки ромба. 3) Дано: ABCD — параллелограмм, AC и BD делят углы так, как показано на рисунке. Доказать: ABCD — ромб. На рисунке ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

Дано: ABCD — параллелограмм, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

Доказательство. Углы ABC и BCD — смежные, поэтому их сумма равна 180°. По рисунку ∠ABC = ∠1 + ∠2, а ∠BCD = ∠2 + ∠3. Из равенства ∠1 = ∠2 и суммы смежных углов получаем ∠1 + ∠2 + ∠2 + ∠3 = 180°. Кроме того, в параллелограмме противоположные углы равны: ∠ABC = ∠ADC. Здесь ∠ADC = ∠3 + ∠4, а ∠3 = ∠4. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4; с учётом заданных равенств получаем ∠1 = ∠4. В треугольнике ABD равны углы ∠ABD = ∠1 и ∠BDA = ∠4, значит, равны и противолежащие им стороны: AB = AD. В параллелограмме AB = CD и AD = BC, поэтому все четыре стороны равны. Следовательно, ABCD — ромб.