410. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства: \(\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\sqrt{3\frac{2}{3}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}\), \(\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}\). Выясните, каким должно быть соотношение между числами \(a\) и \(b\), чтобы было верно равенство \(\sqrt{a+\frac{a}{b}}=a\sqrt{\frac{a}{b}}\), где \(a\in\mathbb{N}\) и \(b\in\mathbb{N}\). 1) Возведите в квадрат обе части равенства. 2) Установите, каким должно быть соотношение между числами \(a\) и \(b\). 3) Проиллюстрируйте правильность вывода на примерах.

Первое равенство верно: \(2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\), поэтому \(\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}\).

Второе равенство неверно: левая часть равна \(\sqrt{\frac{11}{3}}\), а правая — \(3\sqrt{\frac{3}{8}}\). Их квадраты равны соответственно \(\frac{11}{3}\) и \(\frac{27}{8}\), а эти числа не равны.

Третье равенство верно: \(4\frac{4}{15}=\frac{64}{15}\), а \(\left(4\sqrt{\frac{4}{15}}\right)^2=\frac{64}{15}\); обе части положительны.

1. Возводим обе части общего равенства в квадрат: \(a+\frac{a}{b}=a^2\cdot\frac{a}{b}=\frac{a^3}{b}\).
2. Умножаем на \(b\): \(ab+a=a^3\). Так как \(a\in\mathbb{N}\), делим на \(a\) и получаем \(b+1=a^2\), то есть \(b=a^2-1\). При этом для натурального \(b\) необходимо \(a\ge 2\). Это условие также достаточно: подстановка даёт равенство квадратов положительных частей.
3. Например, при \(a=2\), \(b=3\): \(\sqrt{2+\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}\). При \(a=3\), \(b=8\): \(\sqrt{3+\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}\).

Ответ: первое и третье равенства верны, второе неверно. Общее равенство выполняется при \(b=a^2-1\), где \(a\ge2\).