411. Площадь треугольника S см² со сторонами a см, b см и c см можно вычислить по формуле Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр треугольника. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны: а) 12 см, 16 см, 24 см; б) 18 см, 22 см, 26 см. (Можете воспользоваться калькулятором.) 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления. 2) Проверьте друг у друга правильность вычислений. 3) Обсудите, как изменится площадь, если каждую сторону увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

а)

Находим полупериметр: \(p=\frac{12+16+24}{2}=26\) см.

Подставляем в формулу Герона: \(S=\sqrt{26(26-12)(26-16)(26-24)}=\sqrt{26\cdot14\cdot10\cdot2}=\sqrt{7280}=4\sqrt{455}\approx85.3\) см².

б)

Находим полупериметр: \(p=\frac{18+22+26}{2}=33\) см.

Подставляем в формулу Герона: \(S=\sqrt{33(33-18)(33-22)(33-26)}=\sqrt{33\cdot15\cdot11\cdot7}=33\sqrt{35}\approx195.2\) см².

Проверка: в обоих вычислениях полупериметр и разности сторон подставлены в формулу Герона; полученные площади соответствуют этим подстановкам.

Если каждую сторону увеличить в 2 раза, полупериметр и каждое выражение вида \(p-a\) тоже увеличатся в 2 раза. Подкоренное выражение увеличится в \(2^4=16\) раз, поэтому площадь увеличится в \(\sqrt{16}=4\) раза.

Ответ: а) \(4\sqrt{455}\) см² (примерно 85.3 см²); б) \(33\sqrt{35}\) см² (примерно 195.2 см²). При увеличении каждой стороны в 2 раза площадь увеличится в 4 раза.