415. Упростите выражение: а) √(8p) − √(2p) + √(18p); б) √(160c) + 2√(40c) − 3√(90c); в) 5√(27m) − 4√(48m) − 2√(12m); г) √54 − √24 + √150; д) 3√2 + √32 − √8; е) ²√72 − √50 − 2√8.

Предполагаем, что переменные под корнями неотрицательны. Выносим из подкоренных выражений полные квадраты и складываем подобные радикалы.

1. а) \(\sqrt{8p}=2\sqrt{2p}\), \(\sqrt{18p}=3\sqrt{2p}\). Значит, \((2-1+3)\sqrt{2p}=4\sqrt{2p}\).
2. б) \(\sqrt{160c}=4\sqrt{10c}\), \(2\sqrt{40c}=4\sqrt{10c}\), \(3\sqrt{90c}=9\sqrt{10c}\). Значит, \((4+4-9)\sqrt{10c}=-\sqrt{10c}\).
3. в) \(5\sqrt{27m}=15\sqrt{3m}\), \(4\sqrt{48m}=16\sqrt{3m}\), \(2\sqrt{12m}=4\sqrt{3m}\). Значит, \((15-16-4)\sqrt{3m}=-5\sqrt{3m}\).
4. г) \(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\), \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\), \(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\). Значит, \((3-2+5)\sqrt{6}=6\sqrt{6}\).
5. д) \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Значит, \((3+4-2)\sqrt{2}=5\sqrt{2}\).
6. е) Первый знак перед корнем 72 на изображении похож на индекс 2, то есть запись \(\sqrt[2]{72}\); это обычный квадратный корень. Тогда \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(2\sqrt{8}=4\sqrt{2}\), поэтому результат \((6-5-4)\sqrt{2}=-3\sqrt{2}\).

Ответ: а) \(4\sqrt{2p}\); б) \(-\sqrt{10c}\); в) \(-5\sqrt{3m}\); г) \(6\sqrt{6}\); д) \(5\sqrt{2}\); е) \(-3\sqrt{2}\).