419. Упростите выражение: а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha$; б) $\sqrt3\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac\pi6\right)$; в) $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)$; г) $\sqrt2\sin\left(\alpha-\frac\pi4\right)-\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 419. Упростите выражение: а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Раскроем синус разности: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)=\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha$. Тогда $\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha.$
б) $2\cos\left(\alpha-\frac\pi6\right)=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha\right)=\sqrt3\cos\alpha+\sin\alpha$. Поэтому $\sqrt3\cos\alpha-(\sqrt3\cos\alpha+\sin\alpha)=-\sin\alpha.$
в) $\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha$. Следовательно, $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha=\frac12\cos\alpha.$
г) $\sqrt2\sin\left(\alpha-\frac\pi4\right)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha\right)=\sin\alpha-\cos\alpha$. Значит, $\sin\alpha-\cos\alpha-\sin\alpha=-\cos\alpha.$

Ответ: а) $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha$; б) $-\sin\alpha$; в) $\frac12\cos\alpha$; г) $-\cos\alpha$.