420. Упростите выражение: а) \(\cos(\alpha-\beta)-\cos\alpha\cos\beta\); б) \(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\); в) \(\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)\); г) \(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\).

1. а) По формуле косинуса разности \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\). Вычитаем \(\cos\alpha\cos\beta\): получаем \(\sin\alpha\sin\beta\).
2. б) Раскроем скобки: \(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\cos\beta.\)
3. в) \(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\). Поэтому \(\sin\alpha\cos\beta-(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)=\cos\alpha\sin\beta.\)
4. г) Раскроем косинусы: \(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)=2\sin\alpha\sin\beta.\)

Ответ: а) \(\sin\alpha\sin\beta\); б) \(2\sin\alpha\cos\beta\); в) \(\cos\alpha\sin\beta\); г) \(2\sin\alpha\sin\beta\).