420. Решите уравнения: а) x = ∛(x³ + x² − 6x + 8); б) x − 2 = ∛(x² − 8); в) x = ∛(x³ − x² − 8x + 20); г) x + 1 = ∛(x³ + 2x² + x).

Функция кубического корня определена при всех действительных значениях, поэтому возводим обе части каждого уравнения в куб.

а) \(x^3=x^3+x^2-6x+8\), поэтому \(x^2-6x+8=0\). Отсюда \(x=2\) или \(x=4\).

б) \((x-2)^3=x^2-8\). После раскрытия скобок: \(x^3-6x^2+12x-8=x^2-8\), то есть \(x^3-7x^2+12x=0\). Разложение: \(x(x-3)(x-4)=0\). Отсюда \(x=0,3,4\).

в) \(x^3=x^3-x^2-8x+20\), поэтому \(x^2+8x-20=0\). Отсюда \(x=2\) или \(x=-10\).

г) \((x+1)^3=x^3+2x^2+x\). После раскрытия скобок получаем \(x^2+2x+1=0\), то есть \((x+1)^2=0\). Следовательно, \(x=-1\).

Ответ: а) \(2; 4\); б) \(0; 3; 4\); в) \(-10; 2\); г) \(-1\).