420 Случайная величина Х принимает четыре значения 2, 4, 6 и 8 с равными вероятностями. Пользуясь неравенством Маркова, оцените сверху вероятность события: a) A = {X ≥ 1}; б) B = {X ≥ 5}; в) C = {X ≥ 10}. Какие из сделанных оценок не имеют ценности?

Решение:

Случайная величина \(X\) принимает значения \(x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = 6, x_4 = 8\) с равными вероятностями \(P(X=x_i) = \frac{1}{4} = 0.25\) для \(i=1, 2, 3, 4\).

Математическое ожидание \(EX\):

\[ EX = \sum_{i=1}^4 x_i P(X=x_i) = 2 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.25 + 6 \cdot 0.25 + 8 \cdot 0.25 = (2+4+6+8) \cdot 0.25 = 20 \cdot 0.25 = 5 \]

Неравенство Маркова для неотрицательной случайной величины \(X\) гласит:

\[ P(X \ge a) \le \frac{EX}{a} \]

Применим его к данным событиям:

1. Событие A = {X ≥ 1}



\(a = 1\).




\( P(X \ge 1) \le \frac{EX}{1} = \frac{5}{1} = 5 \)




Оценка: 5. Эта оценка не имеет ценности, так как вероятность любого события не может быть больше 1.




2. Событие B = {X ≥ 5}



\(a = 5\).




\( P(X \ge 5) \le \frac{EX}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)




Оценка: 1. Эта оценка также не имеет ценности, так как вероятность не может быть больше 1. Более того, мы знаем, что \(X\) принимает значения 6 и 8, поэтому \(P(X ≥ 5) = P(X=6) + P(X=8) = 0.25 + 0.25 = 0.5\). Оценка \( ≤ 1 \) не даёт новой информации.




3. Событие C = {X ≥ 10}



\(a = 10\).




\( P(X \ge 10) \le \frac{EX}{10} = \frac{5}{10} = 0.5 \)




Оценка: 0.5. Эта оценка имеет ценность. Мы знаем, что \(X\) принимает значения 2, 4, 6, 8, поэтому событие \(X \ge 10\) невозможно, то есть \( P(X ≥ 10) = 0 \). Оценка \( ≤ 0.5 \) верна, но не точна, так как истинная вероятность равна 0.

Ответ: Оценки для событий A и B не имеют ценности.