422 Пусть случайная величина Х имеет математическое ожидание EX = m и дисперсию DX = s², а а — произвольное положительное число. С помощью неравенства Чебышёва оцените снизу вероятность события |X-m| <a.

Решение:

Неравенство Чебышёва для случайной величины \(X\) с математическим ожиданием \(m\) и дисперсией \(s^2\) гласит:

\[ P(|X - m| ≥ a) \le \frac{s^2}{a^2} \]

где \(a\) — произвольное положительное число.

Мы хотим оценить снизу вероятность события \(|X - m| < a\). Это событие является противоположным событию \(|X - m| ≥ a\).

Следовательно,

\[ P(|X - m| < a) = 1 - P(|X - m| ≥ a) \]

Используя неравенство Чебышёва, мы можем подставить верхнюю границу для \(P(|X - m| ≥ a)\):

\[ P(|X - m| < a) ≥ 1 - \frac{s^2}{a^2} \]

Это и есть нижняя оценка вероятности события \(|X - m| < a\).

Ответ: Нижняя оценка вероятности события \(|X - m| < a\) равна \(1 - \frac{s^2}{a^2}\).