423 Случайная величина Х имеет математическое ожидание 5 и стандартное отклонение 1. С помощью неравенства Чебышёва оцените сверху или снизу вероятность события: a) |X - 5| ≥ 3; б) 3 < X < 7.

Решение:

Дано: \( EX = m = 5 \), \( \sigma = 1 \). Дисперсия \( DX = s^2 = \sigma^2 = 1^2 = 1 \).

Неравенство Чебышёва:

\[ P(|X - m| ≥ a) \le \frac{s^2}{a^2} \]

а) Событие |X - 5| ≥ 3

Здесь \(m = 5\) и \(a = 3\).

По неравенству Чебышёва:

\[ P(|X - 5| ≥ 3) \le \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Ответ: Вероятность события \(|X - 5| ≥ 3\) сверху оценивается как \(\frac{1}{9}\).

б) Событие 3 < X < 7

Это событие эквивалентно \(|X - 5| < 2\).

Мы можем использовать неравенство Чебышёва для оценки события \(|X - 5| ≥ 2\), где \(m = 5\) и \(a = 2\).

\( P(|X - 5| ≥ 2) \le \frac{s^2}{a^2} = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} \)

Так как \( P(|X - 5| < 2) = 1 - P(|X - 5| ≥ 2) \), то:

\[ P(|X - 5| < 2) ≥ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Ответ: Вероятность события \(3 < X < 7\) снизу оценивается как \(\frac{3}{4}\).